Фильтрациялық консолидация теориясының осесимметриялық есебін бастапқы градиент әдісінде шешу

0

Фильтрациялық консолидация теориясында әртекті топырақтардың шөгу процесіне бастапқы градиенттің әсері толық зерттелінбеген. Мысалы М.Ю.Абелевтің [1] жұмысында, бұл есептің шешімі біртекті топырақтар үшін, олардың қаңқаларының жылжи деформамиялануын есепке алмаған жағдайда зерттелінген. Қарастырылып отырған бұл жұмысты осы көтерілген мәселенің практикада жиі кездесетін есебінің бірі – жылжи деформацияланушы әртекті топырақтардың фильтрациялық консолидация теориясының осесимметриялық есебін бастапқы градиент әсерінде шешу әдісі келтіріледі.

Есептің математикалық қойылымы.

Есептің математикалық қойылымы К. Терцаги – В.А. Флоин теориясына негізделген. Осы теорияға сәйкес, төмендегідей ұйғарайық:

  • Топырақ қабаты екі компонентті ( топырақ қаңқасы және және сұйықтық) орта.
  • Топырақ қаңқасы Г.Н. Масов –Н.Х. Арутюнянның жылжи деформациялану теориясының В.А. Флориннің интерпретациясын әртекті топырақтар үшін дамыту нәтижесінде келіп шыққан заңдылыққа [2,3]

                                                        (1)

                                                                 (2)

                                                                                           (3)

бағынатын серпімді жылжи деформацияланушы кеуекті орта.

  • Топырақ қабаты осы кеуектер көлемінің өзгеру салдарынан нығыздалады.
  • Топырақ кеуегіндегі судың қозғалысы

                                                                                                         (4)

заңдылықпен сипатталады. Мұнда  бастапқы градиент.

  • Қарастырылып отырған цилиндр түріндегі топырақ қабатының табан жазықтығы және бүйір беті су өткізбейді, үстіңгі бет жазықтығында су еркін сыртқа ығысып шығады.

     Сонда топырақтардың фильтрациялық консолидация теориясының осесимметриялық бастапқы – шеттік есебі мына түрде

 (5)

                                                                     (6)

                                                      (7)

математикалық өрнектелуі мүмкін. Бұл жерде — белгілі тұрақтылар және функциялар;  және — фильтрация коэффициенттері.

   Есепті шешу әдістері және есептің шешімі

  Қойылған (5) – (7) есептің шешімі  екі функцияның қосындысы

                                                                                         (8)

түрінде іздеп, функция  үшін қосымша есепке

                                                              (9)

ал функция   үшін негізгі есепке

 (10)

                                                                      (11)

                                                      (12)

ие боламыз.

  Қосымша (9) – есепті шешуге өтейік. (9)-дағы теңдеуге  (13) қойып

                                                                                                               (14)

теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің шешімі келесі түрге ие

                                                                                                               (15)

Енді (13)-ті ескерсек :

                                                                                                            (16)

тұрақты  ні  (9) –дағы екінші шарттан табамыз: .

тұрақты  ні  (16) –ға қойсақ :  Бұл жерден:

тұрақты  ті   шартынан табамыз. Сонда

Бұл табылғанды алдыңғы өрнекке қойсақ, қосымша есептің шешімін аламыз.

                                                                                               (17)

Негізгі (10)-(12) –ші есепті шешу үшін математикалық физика теңдеулерінің белгілі әдістерінің бірі – меншікті функциялар бойынша жіктеу әдісі н қолданамыз. Нәтижеде  бұл негізгі есептің шешімін мына түрде табамыз:

                                                       (18)

Бұл жерде

                                                           (19)

гипергеометриялық  типтегі теңдеуге

                              деп

түрлендіру енгізуден келіпшыққан канондық түрдегі гипергеометриялық типтегі теңдеудің

бастапқы  (11)-ші шартты қанағаттандырушы шешімі;  — шеттік шарт (12)-нің соңғы үшіншісін қанағаттандырушы Бессель теңдеуінің

шешімі;    функция мына теңдеуге

жаңа айнымалылар    және  енгізуден келіп шыққан Бессель теңдеуінің

шеттік шарт (12)-нің бастапқы екеуін қанағаттандыратын шешімі;

          теңдеуінің шешімі;   мына теңдеудің

шешімі;  және  индексті бірінші және екінші текті Бессель функциялары.

     Негізгі есептің шешімі (18)-ді және қосымша есептің шешімі (17)-ні (8)-ге қойсақ (5)-(7) бастапқы шеттік есептің шешімін табамыз:

                        (20)

   Бұл жерде  ұмтылғанда, шешімге бастапқы градиенттің әсері елеусіз болатындығын байқаймыз. Сондай-ақ  (20) шешімнен дербес жағдайда М.Н. Абелевтің [1]  шешімін алу қиын емес.

Әдебиеттер

  1. Цытович Н.А., Зарецкий Ю.Н., Малышев М.К., Абелев М.Ю., Тер-Мартиросян З.Б. Прогноз скорости осадок оснований сооружений –М.: Изд. Лит. По строительству, 1967, 237с.
  2. Алтынбеков Ш. Некоторые задачи нелинейные задачи теории консолидации наследственно стареющих грунтов, решаемых в вырожденных гипергеометрических и тригонометрических функциях  Изв. АН Уз. ССР, СТН, 1985, №5. –С. 47-52.
  3. Ширининкулов  Т.Ш., Дасибеков А., Алтынбеков Ш. Некоторые задачи нелинейные задачи теории консолидации наследственно стареющих грунтов Изв. АН Уз. ССР, СТН, 1985, №2. –С. 34-38.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ