Екі және үшінші ретті коммутативті матрицалар алгебрасының құрылымы

0

Коммутативті матрицалық алгебралардың ішкі алгебраларын зерттеген ғалымдар М.Ф.Кравчук, Д.А.Супруненко, З.М.Дымент, Б.Чарлез (B.Charles) және басқалары [2].

         Бұл жұмыста   және   болған жағдайдағы  матрицалар алгебрасының коммутативті ішкі алгебраларының құрылымы қарастырылады.

          матрицасы коммутативті деп аталады, егер  матрицасы табылып мына теңдік орындалса:

     және   болған жағдайлары үшін бұл теңдіктің орындалатындығын алгебралық жүйелерді құрып, оның шешулерін табу арқылы зерттеуге болады. Бұл жағдайда сәйкесінше 4 және 9 белгісізді теңдеулер жүйесін шешуге тура келеді. Біз жұмыста матрицаны диагоналды матрицаға келтіруді пайдаланамыз.

  жағдайы үшін мына ұйғарымның ақиқат болатындығын дәлелдеп көрсетелік.

1 – ұйғарым.  алгебрасының максималды коммутативті ішкі алгебрасы  болса, онда  теңдігі орындалатындай ерекше емес  матрица табылып [1],  ішкі алгебрасы келесі алгебралардың біріне сәйкес келеді:

         Дәлелдеуі. 1. Егер  алгебрасында әр түрлі сипаттамалық сандары бар   матрицасы бар болсын, яғни матрицаның элементарлық бөлінгіштері    және  бар болсын. Сонда ерекше емес  матрицасының көмегімен  матрицасы диагоналді   түрге келтіріледі.  матрицасымен коммутативті кез-келген матрица мына алгебраға тиісті болады: . Демек бұл жағдайда:  .

  1. Егер әртүрлі сипаттамалы сандары бар матрицасы табылмаса, бірақ оның екінші дәрежелі  элементарлық бөлінгіші бар болсын. Сонда  матрицасы төмендегідей түрге келтіріледі:

Бұл жағдайда   матрицасымен коммутативті кез-келген матрица мына алгебраға тиісті болады: . Сондықтан  .

  1. Жағдай, кез-келген скалярлық матрицасы болса, онда бұл алдыңғы 1 – нің дербес жағдайы болып,  максималды ішкі алгебра бола алмайды.

Енді  жағдайы үшін мына ұйғарымның ақиқат болатындығын дәлелдеп көрсетелік.

2 – ұйғарым.  алгебрасының максималды коммутативті ішкі алгебрасы  болса, онда  теңдігі орындалатындай ерекше емес  матрица табылып,  ішкі алгебрасы келесі алгебралардың біріне сәйкес келеді

мұнда  – белгіленген параметрлер,

Дәлелдеуі. 1. Егер  алгебрасында әр түрлі сипаттамалық сандары бар   матрицасы бар болсын, яғни матрицаның элементарлық бөлінгіштері   ,   және  бар болсын. Сонда ерекше емес  матрицасының көмегімен  матрицасы диагоналді  түрге келтіріледі.  матрицасымен коммутативті кез-келген матрица мына алгебраға тиісті болады: . Демек бұл жағдайда:  .

  1. Егер әртүрлі сипаттамалы сандары бар матрицасы табылмаса, бірақ оның   және  элементарлық бөлінгіштері бар болсын. Сонда  матрицасы төмендегідей түрге келтіріледі:

.

Бұл жағдайда   матрицасымен коммутативті кез-келген матрица мына алгебраға тиісті болады: . Сондықтан  .

  1. алгебрасының кез келген матрицасының сипаттамалық сандары бірдей болсын, онда жалғыз үшінші дәрежелі элементар бөлгіші бар болады. Сонда  матрицасы мына түрге келеді.

Бұл жағдайда   матрицасымен коммутативті кез-келген матрица мына алгебраға тиісті болады: . Сондықтан  .

  1. алгебрасының кез келген матрицасының барлық сипаттамалық сандары тең болып, ешқандай матрицаның үшінші дәрежелі элементарлық бөлгіші болмасын және бір матрицасының екінші дәрежелі  элементар бөлгіші бар болсын. Сонда,  матрицасы мына түрге келеді:

.

Енді мына коммутативті матрицалар жиынын табамыз:

 және  алгебрасының кез келген матрицаларының сипаттамалық сандары өзара тең және біреу болатындығын ескерсек, онда мына

матрицасы   алгебрасына сонда, тек қана сонда тиісті болады, егер  болса.

 алгебрасынан алынған мына екі матрица:

              және             

коммутативті болу үшін  шарты орындалуы керек. Бұдан мынаны аламыз: . және  параметрлері нөлден өзгеше деп есептелінеді, себебі максимал ішкі алгебраны қарастырып отырмыз.

  1. скалярлық матрицасы болса, онда  ішкі алгебрасы максималды бола алмайды.

        Резюме

В работе изучается строение коммутативных матричных алгебр второго и третьего порядка.

Summary

In this paper we study the structure of commutative matrix algebra of second and third order.

Пайдаланылған әдебиеттер

  1. Курош А.Г. Теория групп. Москва. 1967.
  2. Супруненко Д.А. Перестановочные матрицы. Минск. 1966.

 

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ