Кейбір қарапайым квадрат өрнектерге қатысты теңсіздіктерді жалпыландыру

0
  1. Мынандай, х1,   х2, х3,… ,хn  кез  келген  нақты сандары  үшін

                                           ≥        (1)

теңсіздігі  орындалады

Дәлелдеу.                                                            

Алдымен

(x1-x2)2 ≥0

(x1-x3)2 ≥0

…………

 (x1-xn)2 ≥0

(x2-x3)2 ≥0

(x2-x4)2 ≥0

…………

(xn-1-xn)2 ≥0

теңсіздігінің  орынды  екенін  біле  отырып,

 x12    +  x2≥2 x1x2

 x1 2  +  x3 2 ≥ 2x1 x3

……………………

 x1+  xn2 ≥ 2x1xn

 x2 2 +  x32 ≥ 2x2 x3

 x22  + x42 ≥ 2x2x4

………… …………

x 2n-1 +xn 2 ≥ 2x n-1xn

теңсіздіктерінің  оң  және  сол  жақ  бөліктерін  сәйкесінше  мүшелеп  қосатын  болсақ

                         (n-1)( x12 + x22 + x3 2 + x42 + x 2n-1 + xn 2) ≥

                ≥ 2(x1x2 + x1 x3 +…+ x1xn + x2 x3 + x2x4 +…+ x n-1xn )         (3)

                 қосындысы келіп  шығады.

(3) теңсіздікті қысқаша  көріністе

                                   (n-1)≥

немесе  (1) теңсіздігінің   келіп  шығатынын  айқын  байқауға  болады.

Егер ,    теңсіздігін дәлелдеу  керек  болса,

дәлелденген  тұжырымнан   n=3  болғанда    теңсіздігінің дұрыс  болатынын көреміз.

  1. Егер, теңсіздігі  орындалса

                                           (1)

теңсіздігі  орындалады.

Дәлелдеу.

Алдымен

 және                     (1)

теңдіктері орынды екенін айта кетейік.

Жоғарыдағы теңсіздікті дәлелдеу үшін

>0 екенін дәлелдесек жеткілікті.

Ол  үшін (2) аустыруларды  пайдалансақ,

 =

=.

Соңғы бөлшектің алымы  шарт орындалғанда жоғарыдағы тұжырымның дәлелі екенін байқаймыз.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ