Геометриялық фигураларды кескіндеудегі әдістемелік мәселелер

0

Мектеп геомерия курсын оқытудың өзіндік қиындықтары бар. Әсіресе, стереометрияның алғашқы сабақтарынан бастап кездесетін қиындықтар жоғарғы сыныптарда сабақ беретін әрбір математика мұғаліміне таныс. Стереометрия аксиомаларымен таныстыру кезінде оқушылардың кеңістіктік түсініктерінің әліде нашар дамыған болуына байланысты, стереометрияның алғашқы ұғымдары туралы мәліметтер абстрактілі сипатқа ие болып, жаттанды білімдер қалыптасады. Сондықтан да, оқушылардың көпшілігі стереометрия курсын мектеп пәндерінің ішіндегі күрделі пәндердің бірі ретінде қабылдап, оған деген қызығушылықтары жойылады. Сол себепті геометрияны оқытуда оқытылып жатқан материалдың көрнекілігі және оның моделдеу немесе басқа да бейнелеу құралдарын пайдалану арқылы нақтылануы осындай қиындықтарды жеңуде үлкен роль атқарады.

Көп жағдайда геометрия сабағында мұғалім баяндап жатқан оқу материалын класс тақтасында кескіндеу арқылы толықтырып отырады. Осы жағдайда мұғалім геометриялық фигуралардың кескіндерінің көбінесе көрнекі орындалуына ғана көңіл бөледі. Бірақ теорияға сүйенбей орындалған мұндай сызбалар практикада көптеген қателіктерге алып келеді. Көп жағдайда мұғалімнің өзі де қатесін байқамайды, тіпті қате болады деп күдіктенбеуі де мүмкін. Ал бұл сызбаны оқушы өз дәптеріне де, осы түрде көшіріп алатындығы түсінікті. Мұндай дұрыс емес сызбаларды қолдану оқушылардың білімдерінің, кеңістіктік түсініктерінің т.с.с. дұрыс қалыптасуына кері әсер етеді.

Геометрияны оқытудағы кескіндерді пайдалану барысында кездесетін осындай қиындықтарды шешу және жіберілетін қателіктерді болдырмау проблемасын кез келген математика мұғалімі білуі керек деп ойлаймыз. Геометрияны оқытуда фигураларды кескіндеу және осы кескіндерді сабақта пайдалану үлкен әдістемелік мәнге ие болумен қатар, мынадай екі жақты сипатқа ие. Бір жағынан, геометриялық фигураларды кескіндеу геометрияны оқытуды көрнекі етіп, оны меңгеруді жеңілдетеді. Бұл жағдайда, геометриялық кескіндер иллюстративтік рөл атқарады да, сондықтан оларды иллюстративті сызбалар деп атауға болады. Екінші жағынан, фигураның кескіні қандай да бір геометриялық есепті шешу құралы болып табылуы мүмкін. Мұндай түрдегі кескіндер есепті шешуші сызбалар болып табылады.

Екі жағдайда да геометриялық фигураны кескіндеу үшін проекциялау әдісі қолданылады және алынған сызбалар “проекциялық сызба” деп аталады. Бірақ проекциялық сызбалардың берілуі мен қолданылуындағы ерекшеліктері оларға қойылатын талаптарға үлкен өзгерістер енгізеді. Иллюстративті сызбалар үшін негізінен оның көрнекілігі мен оңай орындалуына көңіл бөлінсе, ал есепті шығару үшін пайдаланылатын сызбаларда, есепті шығаруға мүмкіндік беретін оның толықтығы мен кескіннің дұрыс болуы негізгі рөл атқарады.

Геометрия – математиканың құрамдас бөлігі болғандықтан оны оқытудың негізгі принциптері математиканы оқытудың негізгі ережелерінен келіп шығатындығы түсінікті. Л.Д.Кудрявцевтің “Қазіргі заманғы математика және оны оқыту туралы ойлар” атты еңбегінде берілген он ереженің бірінде “Математика курсында математикалық моделдер оқытылады” – деп атап көрсетілген. Математика және оны оқыту тұрғысынан алғанда геометрия курсын оқыту мақсаттары мыналар болып табылады:

  • Оқушылардың нақты кеңістік қасиеттері мен ондағы геометриялық фигуралардың және олардың элементтері арасындағы сандық, сапалық қатынастары туралы білімдерді меңгеруі;
  • Оқушылардың геометриялық есептерді шығару білімдері мен біліктіліктерін меңгеруі;
  • Олардың кеңістіктік түсініктерінің теория-логикалық және образды ойлауын дамыту;
  • Оқушыларды зерттеу жұмыстары мен эксперименттер жүргізуге тарту;
  • Жеке тұлғаның математикамен айналысудан қалыптасатын интелектуалды қасиеттерін тәрбиелеу.

Мектеп геометрия курсындағы, оқушылардың кеңістіктік түсініктерін қалыптастырудың қажетті құралдарының бірі сызбалар, яғни есепте қарастырылып жатқан кеңістік фигураларының параллель проекциядағы кескінін салу болып табылады. Зерттеушілердің пікірінше сызба “моделдер мен абстрактті кеңістіктік түсініктің арасын байланыстырады”. Сызбаны сабақта қолданудың да өзіндік қиындықтары бар. Себебі екі өлшемді объектіні кескіндеуге қарағанда, үш өлшемді объектіні кескіндеу принципі басқаша. Егер жазық фигураның кескіні, есеп шартында берілген фигураның қасиеттерін түгел сақтай отырып ұқсастық дәлдігіне дейін бейнелейтін болса, ал кеңістік фигурасының кескінінде түпнұсқаның, яғни есептегі қарастырылып отырған үш өлшемді фигураның элементтері арасындағы кеңістіктік және сандық қатынастары өзгеріске ұшырайды. Жазық фигураны кескіндегенде сызба түпнұсқаның дәл көшірмесі болады немесе оған ұқсас фигураны береді. Мысалы, сызбадағы дөңгелектің кескінін қарастыра отырып, дөңгелектің өзін көріп отырғандай боламыз.

Кеңістік фигураларын кескіндеу, тіпті басқаша. Өкінішке орай, ұшы ауада із қалдыратындай “кеңістік қаламы” болмайды. Мұндай қаламмен қырларын жүргізе отырып, кәдімгі кубты салуға болар еді. Ал мұндай қалам болмағандықтан кәдімгі қаламмен кубты қағаз бетіне кескіндеуге тура келеді. Жазық кескін кеңістік фигурасының дәл өзі болуы мүмкін емес. Сол себепті, кеңістік фигурасын қандай ережемен кескіндегенде түпнұсқаны мүмкіндігінше дұрысырақ бейнелейді деген проблема туындайды. Мұндай талаптар екеу: көрнекілік және оңай өлшенімдік.

Көрнекілік дегеніміз фигураның кескіні, фигураның түпнұсқасына ұқсас болуы, яғни кескінді қарастырғанда түпнұсқаны қарастырғандағыға жақын көрермендік әсер қалыптасуы керек.

Оңай өлшенімдік – түпнұсқаның барлық өлшемдерін оңай білу мүмкіндігі.

Бұл екі талап бір-біріне қарама-қайшы болып келеді. Сондықтан сызба геометриясы көрнекілік пен оңай өлшенімдік арасындағы компромисс сақталатын немесе осы екі талаптың тек бірі ғана сақталынып, екіншісі ескерілмейтін көптеген түрлі әдістерді жасады. Әдісті таңдау кескіндеудің қандай мақсатта жүргізілуіне байланысты болады.

Көркем суреттер үшін тек көрнекілік қана қажет, ал оңай өлшенімдік ешқандай рөл атқармайды. Суретшінің салған суретін көре отырып, адам оның не салғанын бірден түсінуі керек. Оны түсінуі үшін көрерменге ешқандай математикалық даярлықтың қажеті жоқ.

Инженерлік сызбаға келсек – мұнда оңай өлшенімдік қажет, ал көрнекіліктің қажеті жоқ. Инженерлік сызбаға қарап кез келген адам не кескінделгенін түсіне бермейді, бірақ мамандар түпнұсқаның (детальдың) барлық өлшемдерін оңай анықтайды.

Геометриялық фигураларды кескіндеу  —  әдістемелік тұрғыдан әлі де терең зерттеуді қажет ететін мәселе болып табылады. Бұл мәселе көптеген ғалымдар мен әдіскерлердің, атап айтқанда Н.Ф.Четверухиннің, А.Д.Семушиннің, Н.М.Бескиннің, Н.П.Ирошниковтың, В.Н.Литвиненконың, Л.П.Лоповоктың, Д.Ф.Иззактың, В.Н.Костицынның, И.М.Смирнованың және т.б. еңбектерінде терең зерттеліп, мектеп геометриясына енгізілген. Мектеп геометриясында “Кеңістік фигураларының жазықтықтағы кескіні” атты арнайы бір тақырып ретінде беріліп, стереометриялық фигураларды кескіндеудің негізгі ережелері қысқаша түрде баяндалған. Бірақ бұл фигуралардың кескінін салу осы бір сабақпен ғана шектеледі деген мәселе емес, осы тақырыпта берілген негізгі ережелерді пайдалана отырып, оқушылардың кескіндеу дағдылары әр жаңа сабақ сайын дамытылып, жетілдіріліп отыруы қажет. Өйткені сызбалар геометрияны оқытудың ажырамас бір бөлігі болып табылады. Демек, геометриялық фигуралардың кескіндерінен тұратын мұндай сызбаларды сауатты орындай білу, әрбір математика пәні мұғалімінің міндеті болып табылады.

Фигура кескіні параллель проекциялау арқылы мынадай екі қадамнан кейін алынады.

1) Фигураның барлық нүктесі берілген бағыт бойынша проекция жазықтығына проекцияланады.

2) Проекция жазықтығында алынған фигура ұқсас түрлендіріледі.

Олай болса, фигура кескінінің анықтамасын былай тұжырымдауға болады:

Анықтама: Фигура кескіні деп оның параллель проекциясына ұқсас фигураны айтамыз.

Фигураны кескіндеу тікелей параллель проекциялау арқылы орындалатындықтан, оқушыларды біріншіден параллель проекциялау ережелерімен таныстыру қажет.

Геометриялық есептерді шығару барысында қолданылатын фигура кескіндері еркін параллель проекциялау негізінде салынады. Яғни, берілген фигураның проекция жазықтығына қатысты орналасуы мен проекция бағыты анықталмайды.

Стереометрияда әртүрлі жазықтықтарда жатқан жазық фигуралардың бәрін бір сызба жазықтығына кескіндеуге тура келеді. Мысалы, параллелепипедті кескіндеу кезінде, оның алты түрлі жазықтықтарда жатқан жақтарын (параллелограмдарды) бір жазықтыққа кескіндейміз.

Олай болса, кеңістік фигурасын кескіндеу үшін, біріншіден, жазық фигураларды кескіндеу мәселесіне тоқталу керек. Параллель проекциялау әдісін пайдаланып кескіндеу барысында, берілген фигура жазықтығы мен бейнелеу жазықтығы параллель болмаса, онда жазық фигура кескіндеу кезінде өзгеріске ұшырайтыны түсінікті.

Жазық фигураларды кескіндеу теориясы мынадай екі теоремаға негізделген.

Теорема-1 (Бар болудың бірінші теоремасы). Берілген қандай да болмасын үшбұрышты, кез келген үшбұрыш етіп кескіндеуге болады.

Теорема-2. Егер А/В/С/ үшбұрышының кескіні берілген болса, онда осы үшбұрыш жатқан жазықтықтың әрбір нүктесінің кескіні де бір мәнді анықталған болады.

Олай болса, осы теоремалар негізінде тең қабырғалы үшбұрыштың, тең бүйірлі үшбұрыштың және тікбұрышты үшбұрыштың кескіндері кез келген үшбұрыш болатынын көреміз. Сондай-ақ, үшбұрыш жазықтығының әрбір нүктесінің кескіні бірмәнді анықталады. Мысалы, А/В/С/ теңбүйірлі үшбұрышы берілген болсын (А/С//С/). Осы үшбұрышты және оның С/Н/ биіктігін кескіндейік.

Шешуі:  А/В/С/ үшбұрышының кескіні 1-теоремаға сәйкес кез келген АВС үшбұрышы болады. Ал 2-теоремаға сәйкес А/В/С/ үшбұрышының әрбір нүктесінің кескіні АВС үшбұрышы арқылы бірмәнді анықталады. Демек, осы үшбұрыштың С/Н/ биіктігін енді бұлай еркін түрде кескіндей алмаймыз. А/Н//В/ болғандықтан және кескіндеу параллель проекциялау негізінде орындалатындығын ескеріп, параллель проекциялаудың қасиетіне сәйкес (параллель проекциялауда, бір түзудің немесе параллель түзулердің бойында жатқан кесінділердің қатынасы сақталады) Н нүктесі АВ қабырғасының ортасы болады (1-сурет).

Осы теоремалар негізінде басқа да жазық фигураларды кескіндеуге тоқталайық.

Мысалы: А/В/С/D/ параллелограмын кескіндеу керек болсын.

Шешуі: Берілген параллелограмнан А/В/С/ үшбұрышын алып, 1-теорема бойынша оның кескіні АВС үшбұрышын аламыз. Параллелограмның төртінші төбесінің D кескіні параллель проекциялаудың қасиеттері бойынша салынады. Яғни, А/В/║С/D/ және В/С/║А/D/ болғандықтан, оған сәйкес АВ║СD, ВС║АD болады. Демек, кез келген параллелограмның кескіні параллелограмм болатындығы шығады.

Олай болса, кез келген көпбұрышты (жазық фигураны) кескіндеу үшін, оның құрылымынан қандай да бір үшбұрыш бөлініп алынып, 1-теорема негізінде кескінделіп, ал басқа төбелерінің кескіндері параллель проекциялаудың қасиеттері негізінде салынады екен. Сонда кескіндеу кезінде, жазық фигура құрамынан таңдалып алынған үшбұрыштың төбелері базистік нүктелер деп аталады.

Бұдан мынадай қорытындылар жасаймыз: Үшбұрыштың кескіні – кез келген үшбұрыш, параллелограмның, тіктөртбұрыштың, ромбының және квадраттың кескіндері – параллелограмм, ал трапецияның кескіні кез келген трапеция болады. Сондай-ақ, дұрыс бесбұрыштың кескіні – кез келген бесбұрыш, дұрыс алтыбұрыштың кескіні – кез келген алтыбұрыш т.с.с. Ал шеңбердің кескіні – эллипс.

Ал стереометриялық фигураларды кескіндеу Польке-Шварц теоремасына (бар болудың екінші теоремасы) негізделеді.

Теорема: А/В/С/D/тетраэдрінің қандай да бір жазықтықтағы проекциясы ретінде диагональдарымен бірге алынған АВСD төртбұрышын қарастыруға болады.

Орта мектептегі есеп шығару барысында орындалатын проекциялық сызбалардағы фигуралар кескініне мынадай талаптар қойылады:

  • Кескін дұрыс болуы керек, яғни түпнұсқаның параллель проекциясына ұқсас фигураны беруі керек.
  • Кескін мүмкіндігінше көрнекі болуы, яғни түпнұсқаның формасы туралы кеңістіктік түсінік беретіндей болуы қажет.
  • Кескін оңай орындалатын болуы, яғни салу ережелері барынша қарапайым болуы керек. Көмекші салулардың көптігі, тек есептің мазмұнын түсінуді қиындатады.

Кескіннің дұрыстығы қатаң анықталатын математикалық ұғым болып табылады, ал кескіннің көрнекілігі ұғымы кескінделген фигураны әркімнің жеке қабылдау ерекшеліктеріне байланысты болғандықтан, субъективті ұғымдар қатарына жатады. Мысалы, мына 2-суреттегі кескіндердің бәрі кубтың дұрыс кескіндері болғанымен, бізге 2,в-суреттегі кубтың кескіні көрнекі болып көрінеді.

Демек, кескін дұрыс болуы үшін оны параллель проекцияның қасиеттеріне сәйкес салу жеткілікті екен. Кескіннің дұрыстығы ұғымы, оның позициялық толықтығы (немесе жай ғана толықтығы) ұғымымен де тығыз байланысты. Ф0 фигурасының проекциялық сызбасында оның әрбір А нүктесі бейнеленген болса, онда фигураның кескіні толық деп аталады. Мысалы, 2,а,ә-суреттердегі куб кескіндері толық емес. Өйткені, куб кескініндегі көп элементтер беттесіп кеткен.

Стереометрия курсын оқу барысында әрбір оқушы сызбалар салады. Бірақ көп жағдайда олар сызбаларды “ешқандай ережесіз” орындайды. Көбінесе оқушы оқулықтағы сызбалар мен мұғалімнің тақтада көрсеткен сызбаларын көшіреді. Берілген фигураны оны кескіндеуге қойылатын барлық талаптарды қанағаттандыратындай етіп салу мәселелеріне келгенде, кейде мұғалімдердің өздері де кескіндеу ережелерін жетік біле бермейтіндігін байқаймыз. Мысалы, дұрыс үшбұрышты пирамида 3,а-суреттегідей кескінделген болсын. Бұл суретке қарай отырып, алынған пирамида барлық талаптарға сай сияқты көрінеді. Ал енді осы сызбада пирамида биіктігін жүргізу керек болсын.

Дұрыс үшбұрышты пирамида биіктігі табанындағы үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесіне түсетіндігін ескерсек 3,ә-суреттегідей дұрыс, бірақ көрнекі емес кескін аламыз.

Сондықтан, дұрыс үшбұрышты пирамиданы кескіндеу мынадай ретпен жүргізіледі (4-сурет).

  • Табанындағы үшбұрышты кескіндеу (4,а-сурет);
  • Осы үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесін салу (4,ә-сурет);
  • Осы нүктеден биіктік тұрғызу (4,б-сурет);
  • Биіктік төбесімен табанындағы үшбұрыш төбелерін қосу (4,в-сурет);

Кескіннің дұрыстығы ұғымымен, тағы да оның метрикалық анықталғандығы ұғымы тығыз байланысты. Ф0 фигурасының кескіні арқылы, оны ұқсасқа дейінгі дәлдікте қайта құрастыру мүмкін болса, онда оның кескіні метрикалық анықталған болып табылады.

Есептің шартында түпнұсқаны ұқсасқа дейінгі дәлдікте құруға мүмкіндік беретін шарттар берілген болса, фигураның кескінін шартты кескін деп атайды. Орта мектептің математика сабақтарында дәл осындай шартты кескіндер қолданылады.

Проекциялық сызбада орындалатын салулар позициялық және метрикалық болуы мүмкін. Позициялық салуларға түпнұсқаны параллель проекциялау негізінде сақталатын қасиеттері жататын болса, метрикалық салуларға, әдетте, түпнұсқаның параллель проекциялауда сақталмайтын қасиеттері жатады.

Кейбір есептер алғашында метрикалық есептер сияқты көрінгенімен, шындығында позициялық болуы мүмкін. Мысалы, үшбұрыштың биіктігін салу жалпы жағдайда метрикалық салу, өйткені параллель проекциялағанда түзулердің перпендикулярлығы сақталмайды. Егер түпнұсқада А/В/С/ үшбұрышының А/В/ және В/С/ қабырғалары тең болса, онда түпнұсқада В/D/ биіктігі, әрі медиана болады, ал параллель проекциялағанда медиана болатын кесіндінің қасиеті сақталады. Олай болса, бұл қарастырып отырған есептегі биіктікті салу позициялық салу болып табылады.

Олай болса, көпжақтар кескініне қойылатын талаптарды мына төмендегідей шартты  схема түрінде бейнелеуге болады.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ