Классикалық теңсіздіктердің экстремал есептерді шешуде қолданулары

0
  1. Айталық — тұрақты сан болсын,  деп алайық, онда  болады, демек,  шама  нен асып кетпейді (кіші немесе тең).

 болғанда, және тек сонда ғана   болады. Сонда  — нің максмумы жайында айту мүмкін және оның мәні    ге тең болады, бұл жерде

  1. Айталық — тұрақты сан болсын. Онда бұл жерде , демек  шама   өрнектен кіші болады.  болғанда, және тек сонда ғана  болады. Бұл жағдайда  — ның минимумы жайында айтуға болады және оның мәні  -ге тең болады, сонымен бірге   екендігі белгілі. Экстремуге байланысты кейбір геометриялық есептерді қарастырамыз:

Есептерді шығаруда келесі тұжырымнан пайдалануға болады:

Теорема. Егер  функцияның берілген аралықтағы мәндері теріс емес(оң немесе нольге тең) болса, онда және  функциялар (мұндағы  натурал сан) ең үлкен (ең кіші) мәнін бір нүктеде қабылдайды.

1 –есеп.  Радиусы R – ге тең шарға көлемі ең үлкен конус іштей сызылған. Конустың биіктігінің  табан радиусына қатынасын табыңыз.

Берілгені:                      Табу керек:             

Шешуі: Есептің шартына сәйкес сызбасын саламыз  (1 – сызба).

                               1 – сызба.

  болған шамалар  R  радиусты шарға іштей сызылған ең үлкен көлемді конустың биіктігі және табанының радиусы дейік. Олай болса  болады.

CS =2R,  ,болғаны үшін тік бұрышты  тан:  екендігі келіп шығады,сондықтан конустың көлемі   — тың функциясы ретінде өрнектеледі.

Сонымен бірге,  яғни  функция өзінің ең үлкен мәніне  аралығында жетеді. Біз қарастыратын мысалдарда жене басқада көптеген осындай практикалық есептердегідей, экстремумға зерттеліп жатқан функция берілген аралықта бір ғана стационар нүктеге, немесе максимум нүктеге, немесе минимум нүктеге ие болады.Мұндай жағдайларда функция өзінің осы берілген аралықтағы ең үлкен мәнін  максимум нүктесінде,  ең кіші мәнін минимум нүктесінде қабылдайды.

 функцияны зерттейміз:

 және теңдікке     болғанда жетеді. Бұнда біз  теңсіздігіне тең күшті(мәндес) болған  теңсіздігінен пайдаландық., — тың дәл осы  мәнінде   функция өзінің ең үлкен мәнін алады:

Осымен бірге,  және                Жауабы:

2 – есеп.  Жасаушысы — ге тең болған ең үлкен көлемді конустың табаны радиусының биіктігіне қатынасын табыңыз.

                                                                                                                         

Берілгені:             Табу керек:             

Шешуі:

                                                        2-сызба

олай болса  дан:  Конустың көлемі      ның функциясы болады. Конус жасаушысының табан жазықтығына көлбеу бұрышы  қандай болғанда, ең үлкен мәнін алады?

Ол үшін мына  функцияның  аралығындағы ең үлкен мәнін табу керек.  және  функциялар қайсы бір  де ең үлкен мәніне жетуі үшін функцияны экстеремумға зерттеген қолайлы.

Сонымен бірге, теңдікке  болғанда жетеді және дәл сол  бұрыш  ға тең ең үлкен мәнді береді яғни осы нүктеде функция өзінің ең үлкен мәнін алады.

  болғаны үшін

Мұндай көлемге ие болған конустың биіктігі  ке, ал табанының радиусы  ке тең.

Демек, .         Жауабы:

Екі мысалдаың жауабында да  екендігіне назар аударыңыз.

            3 – есеп. Радиусы R – ге тең шеңберден қандай сектор кесіп алса, шеңбердің қалған бөлігінен ең үлкен көлемдегі конус (воронка) жасау мүмкін? Алынған ыдыстың табаны(шеңбер) радиусының ыдыс(конус) биіктігіне қатынасын табыңыз.

Шешу: Мәселенің шартына сәйкес сызбасын сызып аламыз (3; 4 – сызбалар).

   Берілгені:                    Табу керек:             

                  3-сызба                           4 — сызба

  ,  делік. Олай болса бұл ыдыстың жасаушысы берілген шеңбер радиусы R ге, ыдыс табанының ұзындығы  доғаға тең болады.

 екендігі айқын. Қолайлы болу үшін   дейік,

. Сонымен бірге,  .

 дан   Соңында,

 Әдетегідей,   функцияны енгізіп  функцияны экстремуға зерттейміз.

Демек,  бұнда теңдік белгісі  болғанда орындалады, яғни   Бұл нүкте тің сонымен тің де максимум нүктесі болады;

 екендігі айқын.

. Онда

 Демек,     (және ).

Жауабы:

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ