Өлшемдік талдау — моделдерді зерттеу әдісі ретінде

0

Моделді құрғаннан кейін келесі зерттеу кезеңі болып құрылған есептің шешу әдістерін табу басталады.  Бұл әдістер аналитикалық болуы мүмкін, яғни математикалық формулалар мен белгілер арқылы жазылған болса, немесе сандық, дискреттік болуы мүмкін, егерде нәтижені алудың арнайы сұлбалары сандар немесе кестелер түрінде жазылған болса. Алайда қарастыратын есептегі мәселені шешудің сандық әдістеріне көшпес бұрын, алдымен өлшемдік талдау жүргізу керек және ұқсастық параметрін анықтау керек болады.

Физикалық өлшемдік талдауы негізінде π-теоремасы деп аталатын теорема жатады. Оның мағынасын түсіндірелік. Физикалық шамалардың өлшемдік формуласы бірмүшелік түрінде өрнектеледі, мысалы түрінде, мұндағы — масса,  – ұзындық,- уақыт символы. Мысалы, тығыздық өлшемдігін, энергия өлшемдігін , үдеу өлшемдігін және т.с.с. деп алуға болады.

Физикалық есептерді зерттеу кезінде қандай-ма болмасын өлшемді шама басқа өлшемді шамалардың функциясы болатын жағдайлар кездеседі.өлшемдішамасы параметрлерін анықтайтын басқа  – өлшемді шамаларының функциясы болсын:

теңдігі өлшем бірлігіне байланыссыз физикалық заңды, тиянақталған физикалық арақатынасты өрнектейді деп жорамалдаймыз. Өлшемді шамалар арасында тек алғашқы   тәуелсіз өлшемдіктері бар болсын.

Кез-келген физикалық арақатынасты өлшемсіз шамалар арасындағы байланыс ретінде қарастыруға болады.

Өлшемдік теориясының π-теоремасына сәйкес  өлшемді шамалар арасындағы (1) түріндегі функционалдық байланыс, өлшем бірлігі жүйесіне тәуелсіз,өлшемді шамалардан тұратын өлшемсіз комбинацияларды өрнектейтін  өлшемсіз шамалар арасындағы  қатынас түріндеболады.Әрине, зерттелініп отырған шаманы анықтайтын параметрлер саны неғұрлым аз болса, (1) түріндегі функционалдық байланыс неғұрлым көп шектеледі де, оны зерттеу жеңілдеу болады. Егерде анықтайтын параметрлер саны негізгі өлшеу бірлігінің  санына тең болса, яғни , онда шамаларынан өлшемсіз комбинация құруға болмайды. шамасының өлшемдігі үшін    қатынасын аламыз, бұл қатынас  жағдайында ғанаорындалады, мұндағы — өлшемсіз тұрақты, ал көрсеткіштері жазылған теңдіктің оң және сол жақ бөліктеріндегі өлшемдікті салыстырудан оңай табылады.Сонымен, бұл дербес жағдайда  байланысы  тұрақтысына дейінгі дәлдікпен анықталады.

Жоғарыда айтылғандай, моделді құруда  біз құбылысты анықтайтын негізгі факторларды бөліп алып, параметрлерін белгілеп алуымыз керек. Өлшемдік теориясы анықтаушы параметрлер жүйесіне толықтық талабын ұсынады, яғни анықтаушы параметрлер арасында өлшемді шамалар болуы керек, және олар арқылы барлық тәуелді шамалардың өлшемдері өрнектелетін болуы керек. Мысалы, идеал газдың статикалық күйі  тек екі өлшемді шамалармен:  температурасы және  тығыздығымен анықталады деп пайымдауға болмайды, өйткені қысымның өлшемдігі  және  арқылы өрнектеліне алмайды. Бұл шамаларға тағы да бір өлшемді –ді ( – газ тұрақтысы) қосуымыз қажет.

Жоғарыда келтірілген пайымдаулар математикалық моделдің өлшем теориясы талабының қарама-қайшылықсыздыққа тексерілуі мен өлшемді талдаудың едәуір пайдалы екенін көрсетеді.Мұныңбарлығы тәуелсіз айнымалылар санын неғұрлым аз алуға және моделді құруда өрескел қателіктер жібермеуге мүмкіндік береді.

Модель теңдеуін -теоремасын ескеріп өлшемсіз формада жазған жөн. Бұл зерттеуді жеңілдетеді және нәтижелерге неғұрлым жан-жақтылық береді. Сонымен қатар, әдетте есептің шешіміне байланысты болатын өлшемсіз тұрақтылар мен айнымалы параметрлерді анықтау мүмкін болады. Әрі қарай біз қарастыратын есептерде негізгі өлшем бірлігі 3 болады:  (яғни-теоремасы бойынша ). Әрмен қарай тегіс ортаның қозғалысы зерттелінетін болғандықтан, біз өлшем теориясының қорытындыларын  осындай есептерге қолданатын боламыз. Кеңістіктегі қозғалыстың жалпы жағдайында анықтаушы параметрлер жүйесі әрдайым мына түрге келтіріледі:

мұндағы – тәуелсіз өлшемді тұрақтылар,  – кейбір өлшемсіз тұрақтылар.

шамасы өлшем бірлігі жүйесінен тәуелсіз болатын  параметрлерінің функциясы болсын.Бұл функцияға -теоремасын қолданайық ( ). мен-ден өлшемсіз комбинация құрып, өлшемсіз функциясын енгізейік. Сонда, -теоремасы бойынша, ол  тұрақтыларынан басқа тағы да төрт өлшемсіз айнымалыдан тәуелді болады. Бұл тікелей –тен     төрт тәуелсіз өлшемсіз айнымалылар комбинациясын құру мүмкіндігінен шығады.

Сонымен, жалпы жағдайда. Енді және  анықтаушы параметрлер жүйесінде тәуелсіз өлшемдері   болатын тек қана  екі тұрақтыболсын.  Бұл жағдайда

, яғни өлшемсіз функциясы тек қана үш өлшемсіз айнымалы комбинациялардан тәуелді болады:

Бұл жерде ортаның автомоделдік қозғалысының мысалын аламыз, яғни мұндай қозғалыстар үшін — тұрақтылар) беттерінің бойында ортаның анықтаушы (физикалық) параметрлерінен тұратын өлшемсіз комбинациясы сақталады. Егерде процесс  координаталарынан тәуелді болмаса немесе қозғалыс бір өлшемді болса, онда автомоделдік жағдайда мұндай қозғалыстың өлшемсіз сипаттамалары тек бір айнымалы

комбинациясымен анықталады.

[1]-есебінің математикалық моделін құру мен зерттеудің 3-4 кезеңіне өлшемдік әдісін қолдануды көрсетейік.

3-4 кезең. Анықтаушы параметрлер жүйесі

шамаларынан тұрады.

Белгісіз шамалар Белгісіз шамалардың өлшемсіз комбинациялары:

Анықтаушы шамалар үшін –

Сонда -теоремасына сәйкес аламыз.

Егерде соқпалы тұрба екі жаққа шексіз созылады деп ұйғарсақ, онда анықтаушы шамалар жүйесінде  параметрлері жойылып, есеп автомоделді болып қалады, себебі анықтаушы айнымалылар мен тұрақты параметрлерден тек қана бір өлшемсіз  комбинациясын құруға болады. Бұл жағдайда есеп те, оның шешімі де идеал газ үшін толықтай аналитикалық тұрғыда зерттелген.

Математикалық моделдердің жалпы жағдайына қайта оралып, өлшемдік талдаудан басқа моделдің қарама-қайшылықсыздығы процестер симметриясының ортақ қасиеттерінің орындалуын тексеру мен түрлендіру топтарына қатысты инварианттылық заңдарына қанағаттандырылуы көмегімен тексерілуі мүмкін.  Мысалы, ньютондық механикада қозғалыс теңдеуінің Галилео-Ньютон түрлендіруіне қатысты инварианттылығы болу керек.

-теоремасының шындығында созылу топтарының инварианттары туралы топтық теорема екендігін ескерейік.

Енді шешу әдісін таңдау туралы негізгі пікірлерді қарастырайық. Әрине, модель тұжырымдалғаннан кейін, оның дәл шешімін табуға әрекеттену керек. Дәл шешім ұғымы  толығымен анықталмаған.Егерде есеп квадратураға келтірілген болса, кей жағдайда ол дәл шешім делінеді. Ал егерде шешімге енетін интегралдар «алынбайтын» болса және де меншіксіз болса, яғни не шектері шектелмеген болса, не интеграл астындағы функциялардың ерекшеліктері бар болса, онданақты есептің сандық деректерін алу үшін, осы интегралдарды есептеу жұмысын орындау керек. Егерде, есептің өзі Коши есебімен берілген туындылары арқылы шешілген жай дифференциалдық теңдеулер жүйелерін интегралдауға келтірілген болса, онда оның дәл шешімі бар болады дейді. Біріншіден, жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі шешу тәртібінің сапалы талдауын жиі қарастырады, одан есептегі тәуелсіз айнымалының бізді қызықтыратын өзгеру облысындағы  шешу тәртібі туралы қорытынды жасуға болады. Екіншіден, Коши есебін шешу үшін тиімді сандық әдістер жасақталған және оларды есептеу үшін бағдарламалар да қарастырылған.

4-5 кезең. Бұл мысалда есептің дәл шешімін табуға тырысамыз.Бұл жерде жоғарыда көрсетілгендей, автомоделдік рұқсат етілгенде шектік жағдайлар жиі көмектеседі. Және де, мұнда автомоделдік есеп тек қана  жай дифференциалдық теңдеулерді шешуге келтіріле қоймай, сонымен қатар формула түріндегі дәл бөлікті-үзіліссіз шешімді алу мүмкіндігін көрсетеді. Егерде дәл шешімін табу мүмкін болмаса, жуықтаған сандық әдістерге жүгінуге тура келеді. Әдісті таңдау есептің сипатына және берілгендерді шығару талабына сәйкес қарастырылады.

Дербес туындылы теңдеулерді шешуде шекті айырымдар және шекті элементтер әдістері кеңінен қолданылады. Мұндай әдістерде есеп алгебралық немесе трансценденттік теңдеулер жүйелеріне келтірілетін қарапайым есептерге бөлінеді. Моделдерді дифференциалдық теңдеулер түрінде жазу процесінен арылтып, бірден таңдалынып алынған сандық әдістің шеңберінде жазуға да болады. Онда моделдің қарама-қайшылықсыздығын тексеру әдістерінің кейбірін жоғалтып алар едік. Құрылатын моделдер тұтас орта механикасының теңдеулері мен әдістеріне келіп тіреледі.

Резюме

В данной статье рассматривается один из методов математического моделирования – анализ размерностей. Применение данного метода показано на основе задачи рассмотренной в предыдущей статье автора

                                                      Summary

This article discusses one of the methods of mathematical modeling — dimensional analysis. The application of this method is shown on the basis of the task considered in the previous article the author.

Әдебиеттер

  1. Даиров Г., Адиева А.Ж. «Практикалық есептердің математикалық моделін құруға кіріспе». «Бәсекеге қабілетті жеке тұлғаны қалыптастырудағы инновациялық технологиялардың ролі мен маңызы» атты облыстық ғылыми-тәжірибелік конференция материалдары, Атырау, 29 сәуір 2013 ж., 69-73бб.
  2. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.,Наука,1984
  3. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.,Наука,1981
  4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.,Наука, 1973
  5. Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва. М.,Наука,1981
  6. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.,Наука,1980

 

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ