Олимпиадалық теңсіздіктерді дәлелдеуде бірдей реттелген теңсіздіктердің қолданылуы

0

Реттелген  және  тізбектері беріліп,   тізбегі  тізбегінің элементтерінің орындарын алмастырудан алынған тізбек болсын.

Анықтама.  және  тізбектері бірдей реттелген деп аталады, егер барлық  сандары үшін

теңсіздігі орындалса және кері реттелген деп аталады, егер кері теңсіздік орындалса:

 және  тізбектері бірдей реттелген болса және  тізбегінде бірдей элементтер болмаса, онда   және  тізбектеріде бірдей реттелген болады. Енді мына түрдегі қосындылардың қайсысы ең үлкен, ал қайсысы ең кіші болатындығын анықталық:

.         (1)

1 – ұйғарым. (1) түрдегі қосындылардың ішіндегі ең үлкені  және  тізбектері бірдей реттелгенде, ал ең кішісі тізбектер кері реттелгенде болады.

Салдар. Егер   тізбегі  тізбегінің элементтерінің кез-келген орын ауыстыруынан алынған болса, онда

 оң сандар болсын. Сонда 1 – ұйғарым бойынша:

1)  және  жиынтықтары бірдей реттелген болатындықтан:

2)   және  жиынтықтары бірдей реттелген болатындықтан:

Бұл екі жағдайды біріктіріп,  мынаны аламыз:

3)  және  жиынтықтары бірдей реттелген болатындықтан:

теңсіздігі ақиқат болып, оны мына түрге түрлендіруге болады:

Бірдей реттелген теңсіздіктермен (1) қосындыны төменнен бағалауға байланысты алынатын маңызды теңсіздіктердің бірі Чебышев теңсіздігі. Бұл теңсіздік мына түрде тұжырымдалады.

2 – ұйғарым.   және  тізбектері бірдей реттелген болса, онда

Чебышев теңсіздігінің көмегімен олимпиадалық теңсіздіктерді дәлелдеуде жиі пайдаланылатын мына теңсіздіктерді дәлелдеуге болады:

1)   ;

2)  ;

3)   .

Енді республикалық математикалық олимпиаданың ІІ – ІІІ кезеңдерінде келген теңсіздікті дәелдеуге тоқталалық.

1 – есеп. (РМО – ІІ, ІІІ, 2010)  теңдігін қанағаттандыратын теріс емес  және оң  нақты сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер:

Дәлелдеуі.  болғанда Чебышев теңсіздігі мына түрде жазылады:

Сонда

Бұл теңсіздіктің басқаша дәлелдеуі [1] мақаласында көрсетілген.

Оқырмандарға арналған басылымдарда, (мысалға [1; 6 – бет, 2 есеп]), осының салдары ретінде математикалық олимпиадалардың қатысушылардың теңсіздіктерді дәлелдеуді толық жүргізбейтіндігін жиі байқап жүрміз. Оқушылар мен мұғалімдердің математикалық олимпиадаларға дайындығындағы ең негізгі құралы Республикалық басылымдардағы мақалалар мен оқу құралдарындағы келтірілген мысалдар болып келеді. Бұл мақалада келтірілген мысалдар, оқушылар мен мұғалімдерге теңсіздікті дәлелдеу туралы дұрыс көзқарас қалыптастыруға себепші болады деген сенімдеміз.

 Резюме

В работе рассматривается вопрос применение одинаково упорядоченных наборов чисел к доказательству олимпиадных неравенств.

                                                                      Summary

The paper deals with the application of the same tuples of numbers to prove the inequalities Olympiad.

Әдебиеттер

  1. Абиров А.Қ., Абирова К.Қ., Жұмағалиева М.Н. Олимпиадалық есептердегі алмастыру әдісінің орны. /«Жаратылыстану, физика – математикалық ғылымдар, экология мен ақпараттық технологиялардың өзекті проблемалары» атты Республикалық ғылыми – тәжірибелік конференциясының материалдар жинағы.Атырау – 2010. 103 – 105 беттер.
  2. Қайынбаев Ж. Олимпиадалық теңсіздіктер. / Алгорифм.№4 – 2011.6 – 9 беттер.
  3. Седеракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. –М.: Физматлит. 2002

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ