Бикватерниондар алгебрасының физикалық қолданулары

0

Кватерниондар алгебрасын Кэли бойынша екі еселеуден алынған  алгебрасы бикватерниондар алгебрасы деп аталады.

Мұнда   — кватерниондар алгебрасы,  — екі еселеудің жорамал бірлігі,  — бикватерниондар алгебрасы.

      Біз өмір сүріп тұрған ортаны 4 өлшемді кеңістік–уақыт ретінде қарастыруға болатындықтан, оны бикватерниондық базисте  компонентасын уақыт координатасы, ал  компоненталарын сәйкесінше кеңістіктің  координатасы ретінде қарастыратын математикалық модел табылады. Бұл моделде бикватернионның барлық қалған бөлігі алынып тасталады немесе олар барлық жағдайда нөлге тең деп есептейміз.

      Бұл моделде мына түрдегі түрлендіру   құрамында Лоренцтің түрлендірулер тобы болады. Мұнда  шамасының полярлық бөлігі қозғалыстың бір санау жүйесінен екіншісіне қарағанда түрленуінің параметрі, ал аксиалды бөлігі санақ жүйесінің бұрылу параметрі болып табылады.

      Екі өлшемді евклидтік кеңістікте  комплекс саны  радиус вектор сәйкес келеді және оның ұзындығының квадраты тұрақты шама инвариант болады, яғни  Физикада пайдаланылатын түрлендірулер тобын, олардың иноварианттары бойынша айыру қабылданған. Екі өлшемді евклидтік кеңестікте түрленетін вектордың ұзындығын сақтайтын түрлендіру, жазықтықтағы бұрулар тобы немесе екі өлшемді арнайы ортогонал —  тобы болып табылады.  — өлшемді евклидттік кеңістікте түрленетін вектордың ұзындығын сақтайтын, яғни:  болатын ортогонал түрлендірулер тобын анықтауға болады және оны  арқылы жазады. Мұндағы  — түрлендірудің нақты кеңістікте берілгендігін көрсетеді.

         Вектордың компоненталарының квадраттарының қосындысы сақталатындай комплекс сызықты  кеңестігінде анықталынған түрлендірулер тобын анықтауға болады. Мұны  арқылы белгілейді.

         Бикватерниондармен байланысты болатын ортогонал  тобын қарастыралық. Анықтауымыз бойынша бұл топты мына бисызықты комбинация тұрақты болады:

                     (1)

         Бұл қосындыны  және  бикватерниондардың көбейтіндісі түрінде жазуға болады. Бұл  тобын параметрлеуге мүмкіншілік береді. Бикватерниондарды көбейту коммутативті емес болғандықтан  шамасын бикватернионға сол және оң жақтан көбейтуді айыру керек. Сонымен жалпы түрлендіруді мына түрде жазуға болады:

  (2)

      Инварианттылықты пайдалансақ, онда

                              (3)

          болғандықтан

              (4)

      Сонда (3) шарттан  болатындығы шығады. Мұнда  және  деп алуға болады. Бұл шарттар орындалу үшін  және  бикватерниондарын ортонармаланған түрде алу керек:

немесе

                  (5)

мұнда мынадай белгілеулер енгізілге

          (6)

          тобының нәтижелерін физикада аса маңызды рөл атқаратын, оның ішкі топтарында орындалады. Осындай топтардың біреуі Лоренцтің  тобы. Оны псевдоевклидтік 4 өлшемді кеңістіктің  векторының ұзындығы  шамасын инвариант қылатын, яғни

                           (7)

Болатындай бұрулар тобы ретінде қарастыруға болады.

         — таза жорамал координатасын енгізіп, (8) инвариантты евклидтік формада жазуға болады:

                   (8)

      (8) өрнекті бикватернионның дербес жағдайы болатын  және  векторының көбейтіндісі түрінде жазуға болады.

      Лоренц түрлендірулер тобының инварианты, арнайы салыстырмалық теориясында (АСТ) интервал деп аталып,  арқылы белгіленеді. Сонда, мынадай үш жағдайды қарастыруға болады:

               (9)

                (10)

                    (11)

мұнда   — жарық жылдамдығы,  — уақыт.

      (9) жағдайды  интервалы бастапқы нүктеден электромагниттік (жарықтық) толқынның таралуының координаталарымен таралу уақыты қанағаттандырады. Бұндай интервал изотропты деп аталады.

      (10) қанағаттандыратын интервалды кеңестіктәріздес деп атайды. Бұл Лоренцтің түрлендіруі арқылы (10) шартты қанағаттандыратын бикватернионды тек қана кеңісті координаталары болатындай санақ жүйесіне көшуі болатындығына байланысты.

      (11) шартты қанағаттандыратын интервал уақыттәріздес деп аталады. Бұл жағдайда Лоренцтің түрлендіру арқылы бикватернионның тек қана уақыт координатасы болатындай санақ жүйесіне көшуге болады.

      (9)- (11) шарттар 4 өлшемді кеңістік- уақытты (Минковкий әлемі) Лоренц түрлендіруіне қарағанда инвариантты болатын ішкі кеңестіктерге жіктейді.

      (9)- (11) шарттарды геометриялық кескіндемесі бірінші суретте (төменде) көрсетілген.

1-суретте ыңғайлы болу үшін тек қана екі  және  кеңістік координаталары алынған.  – конусы жарықтық деп аталады. Оның жоғарғы бөлігінің іші абсолютті болашақ, ал төменгі бөлігі — абсолютті өткен шақ деп аталады. Бұл екі облыс (11) интервалға келеді.

      (11) жағдайға сәйкесті аралық (10) жағдайға сәйкесті интервалдың, яғни жарық конусының сыртындағы кеңістік- уақытты көрсетеді және абсолютті алыстаған оқиғалар облыс деп аталады.                                                              Уақыт және кеңістік ұғымдарымен тығыз байланысты Минковский кеңістігі берілсін:

         Енді бикватерниондардың функционалдық кеңістігін, яғни комплекс кватерниондардың кеңістігін қарастыралық:

мұндағы   — комплекс мәнді функция,   — комплекс компонентті үш өлшемді вектор-функция.

          кеңістігінде бикватерниондарды қосу мен көбейтуді мына түрде анықталық:

         Сонда  – ассоциативті, бірақ комутативті емес алгебра құрайды.

  бикватернионы үшін  — комплекс түйіндес, ал  – түйіндес бикватернион деп аталады.  болса, онда бикватернион өзтүйіндес деп аталады.

          – бикватерниондарының скалярлық көбейтіндісі деп бисызықты мына амалды айтамыз:

 – бикватернионының нормасы және псевдонормасы деп мына шамаларды айтамыз:

      Минковский кеңістігінде Лоренц түрлендіруін тұрғызу үшін бикватерниондар алгебрасын пайдалану қолайлы болып табылады. Бұл мақсатта  кеңістігін кватерниондау үшін комплекс түйіндес  және  бикватерниондарын енгіземіз. Сонда

теңдіктерінің орындалатындығын жоғарыдағы анықтамалар бойынша тікелей тексеруге болады. Енді

бикватерниондарын енгізелік, мұнда ,  — нақты сан, . Бұл жағдайда Лоренцтің класикалық  түрлендіруі мына түрге келеді:

      Егер  болғанда ,  белгілеулерін енгізсек, онда бикватернионның скалярлық және векторлық бөліктері белгілі релятивистік формула түрінде жазылады:

       Бұл   координаталар жүйесінің  векторының бағытымен өлшемсіз  жылдамдығымен қозғалысына сәйкес келеді. Осы жағдайда псевдонорманың сақталатындығын, яғни мына теңдіктердің орындалатындығын тексеруге болады:

         Түйіндес , ,  бикватерниондары Минковский кеңістігінде  –тің векторлық бөлігіне ортогонал болатын түрлендірулер тобын анықтайды:

Бұл айтылғандарда Минковский кеңістігінде Лоренц түрлендіруін мына түрде анықтауға болатындығы шығады:

мұнда

 болатындықтан  –тің псевдонормасы сақталады.

     

Абсолютті болашақ

 

                                                   Абсолютті   қиып өтетін

Абсолютті өткен шақ

1-сурет.

     Резюме

В работе рассмотрены некоторые физические приложение алгебры бикватернионов.

Summary

The paper considers some of the physical application of the algebra of biquaternions

Пайдаланылған әдебиеттер

  1. А.Қ.Абиров., Д.Х.Ибрашова. Бикватерниондар алгебрасының құрылымы // «Жансүгіров тағылымы» Республикалық ғылыми-тәжірибелік конференция материалдары. Талдықорған – 2012. 16-19 б.
  2. И.Л.Кантор, А.С.Солодовников. Гиперкомплексные числа. М., Наука 1973.

3.М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат, «Проблемы гидродинамики и их математические модели». М., «Наука», 1977.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ