ДИНАМИЧЕСКИЕ АНАЛИЗЫ ПРОСТАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ С УПРУГИМИ ЗВЕНЬЯМИ И СИЛАМИ ТРЕНИЯМИ В КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАРАХ

0

В последнее время возрос интерес к теории пространственных механизмов и в том числе к их динамике, так как эти механизмы имеют все большее применение. В этой области разработаны методы описания движения пространственных механизмов с несколькими степенями свободы, их силовой анализ, решены некоторые задачи уравновешивания и колебания этих систем.

Известен также целый ряд эффективных методов анализа перемещений, скоростей и ускорений. Однако пространственные механизмы редко находят применение, частично вследствие того, что сложность кинематических соотношений для этих механизмов не позволяет получать требуемые решения обычными методами. Для изучения многозвенных рычажных пространственных механизмов с абсолютно жесткими звеньями разработано множество аналитических и численных методов. Однако во многих реальных машин и механизмов допущение о жесткости его элементов не совсем оправдано, когда необходимо обеспечить высокую точность и соосность. Чтобы более точно предугадать характер поведения той или иной системы в заданных условиях, необходимо иметь более совершенной математической моделью этой системы.

В данной работе приводится пространственных механизм динамического НДС упругих пространственных механизмов при действии внешних, массовых, дополнительных сил, сил упругого демпфирования материалов звеньев, а также сил трения в произвольных кинематических парах.

Из-за сложности получающейся нелинейной математической модели, в которой учитывалась бы инерционная связь между большими перемещениями жестких тел и малыми упругими перемещениями, динамика упругих систем исследована недостаточно.

Полные глобальные перемещения точек КЭ механизмов будем представлять в виде суммы деформационных и кинематических перемещений.

Исследуем сначала кинематику механизма. Геометрию любого звена пространственных механизмов и его положение относительно предыдущего звена, можно полностью описать четырьмя параметрами – двумя перемещениями  и двумя углами  .

Относительное положение двух координатных систем  можно выразить аналитически с помощью матрицы перехода  порядка (4х4), зависящей только от четырех параметров :

                                   (1)

       Здесь — характерная ось движения соответствующей пары; -ось, образованная общим перпендикуляром, направленным от к. Если же эти оси пересекаются, то ориентацию оси   можно выбрать произвольно; -ось, которая вместе с осями и   образует правую декартову систему координат ; i — номер конкретного сочленения или кинематической пара.

Поскольку рассматриваемый механизм состоит из одного замкнутого контура, то можно записать следующее матричное соотношение[1]:

,                                                         (2)

где n – номер звена и I – единичная матрица порядка (4х4).

Здесь для вращательной кинематической пары [2]

                               (3)

Для поступательной кинематической пары эти матрицы имеют следующий вид [3]

                            (4)

Уравнение (1) полностью описывает геометрии механизма, и его решение позволяет осуществить исчерпывающий анализ перемещений.

Для любого положения механизма величина  известна как входной угол. Необходимо определения остальных переменных величин  итерационным методом. Каждая из величин также известна, поскольку эти величины характеризуют размеры механизма.

Для реализации итарационного процесса неизвестные можно выразить в виде

                                              (5)

где  — начальная оценка и  — ошибка  по отношению к точной величине.

Подставляя (5) в (3) и используя тригонометрические тождества для сумм углов и допуская, что начальные оценки достаточно точны, чтобы было справедливым предположение о малости углов , получим

                                                  (6)

Здесь

                                                                     (7)

                                     (8)

Уравнение (6) мы будем впредь называть основным уравнением итерационного процесса, так как оно может быть решено относительно величин .

Матрица  для вращательной кинематической пары является кососимметрической

                                                 (9)

Матрица  для поступательной кинематической пары является также кососимметрической

                                                               (10)

Произведение   в (8) осуществлено дифференцированием, в соответствии с соотношением

                                                          (11)

Известная теорема утверждает, что если Q – кососимметрическая матрица и  результат транспонирования матрицы H, то произведение

                                                                   (12)

также представляет собой кососимметрическую матрицу.

                               (13)

                                                                        (14)

По начальной оценке и известных геометрических параметров (9) получены кинематические характеристики механизма Брикарда в инерциальной системе отсчета.

Результаты численного расчета кинематики механизма Брикарда приведены на рисунках 1.

Ошибка углов : ряд 1 — угла ,  ряд 2 – угла ,  ряд 3 — угла , ряд 4 — угла , ряд 5 — угла .

Рисунок 1 — Ошибка углов поворота звеньев механизма Брикарда  по отношению к точной величине (в радианах)

Углы поворота : ряд 1 — угла , ряд 2 — угла ,  …,  ряд 6 — угла .

Рисунок 2 — Углы поворотов  звеньев пространственного механизма Брикарда (в радианах)

Полные перемещения, скоростей, ускорений: узла 2 (а), ряд 1 – координата, ряд 2 – скорость, ряд 3 – ускорение; узла 3 (б), ряд 1– координата, ряд 2 – скорость, ряд 3 – ускорение; узла 4(в), ряд 1 – координата, ряд 2 – скорость, ряд 3 – ускорение; узла 5(г), ряд 1 – координата, ряд 2 – скорость, ряд 3 – ускорение.

Рисунок 3 – Изменения полного перемещения, полных линейных скоростей и ускорений точек сочленения звеньев механизма Брикарда по времени

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ