КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГИБКИМИ НИТЯМИ

0

Как показывает проведенные исследования по математическому моделированию, оно вступает в принципиально важный этап своего развития. Без владения информационной технологии нельзя думать о решении все более укрупняющихся и все более разнообразных проблем, стоящих перед техникой и технологии.

            На первом этапе моделирования выбирается «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства-законы, которым они подчиняются. Второй этап заключается в выборе алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. На третьем этапе создаются программы, переводящие модель и алгоритм  на доступный компьютеру язык К ним также предъявляется требования экономичности и адекватности.

            Наиболее распространенный метод построения моделей состоит в применение фундаментальных законов к конкретной ситуации. Эти законы общепризнанны, многократно подтверждены опытом, служат основой множества научно-технических достижений. При этом на первый план выдвигаются вопросы, связанные с тем, какой закон следует применять в данном случае и как это делать. К таким законам можно отнести закон сохранение энергии, сохранение материи, сохранение импульса. Еще один подход к построению моделей, по свей широте и универсальности сопоставимый с возможностями, даваемыми фундаментальными законами, состоит в применении так называемых вариационных принципов механики. Они представляют собой весьма общие утверждения о рассматриваемом объекте и гласят, что из всех возможных вариантов его поведения выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенному условию.

            Рассмотрим процесс составления математической модели для механической системы      с гибкими нитями и тканями. К такой механической системе можно отнести, например все машины текстильного производства. В частности в ткацком станке имеются две механические системы с нитями:

  • система основных нитей с тканью и взаимодействующими жесткими звеньями;
  • система уточной нити с взаимодействующими звеньями.

Такие же механические системы существует в прядильных  и трикотажных машинах.

            Механические системы с тканью в отделочных машинах текстильного производства весьма разнообразны и многочисленны. Они представляют собой линии проводки ткани с взаимодействующими с ней звеньями.

            Для построения математической модели таких механических систем необходимо записать систему дифференциальных уравнений движения нитей и ткани на отдельных участках в контакте с деталями машин. К этой общей системе дифференциальных уравнений необходимо присоединить уравнения стыковки. Решая аналитически или численно общую систему дифференциальных уравнений движения механической системы при заданных начальных и граничных условиях  можно найти соответствующие параметры состояния нитей и ткани. При этом из общей системы уравнений исключается уравнения движения жестких звеньев, которые в данный период цикла не взаимодействуют с нитями и тканью. Поставленная задача является весьма сложной и составляет большую тему исследования. В данной работе остановимся на рассмотрение частных задач.

            Для аналитического исследования механических систем с реальными нитями или тканью необходимо иметь такие механико-математические модели, которые отражали бы основные свойства материала реальных нитей и ткани, геометрические и силовые условия, в которых они находятся, а также упругие, вязкие, пластические деформации растяжения, изгиба и кручения. Границы применимости модели устанавливают сравнением экспериментальных данных и соответствующих данных аналитического расчета.

            Колебательные свойства многих физических систем, например, колебания балок, пластинок, оболочек, гибких стержней и в частности различные элементы рассматриваемой системы, описывается одной и той же математической моделью [1] – дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных

            При использовании метода разделения переменных можно воспользоваться упрощенной математической моделью [2]-обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка

                                                                 (2)

            При ряде допущений (линейность восстанавливающей силы, отсутствие возмущающей силы, определенное соотношение между параметрами  a,b, c). Можно воспользоваться упрощенной математической моделью [3]- формулой, с помощью которой в явном виде записано решение менее сложного дифференциального уравнения.

                                      (3)

            Математическая модель (3) является существенно более ограниченной, чем (1) и (2), и справедлива при более жестких предположениях.

            В общем случае решение немногих дифференциальных уравнений частных производных вида (1) удается получить аналитически. Поэтому широкое распространение получили численные методы решения уравнений в частных производных.

            Рассмотрим решение (1) в Mathcad. Функция pdesolve в Mathcadе позволяет решать дифференциальные уравнения и системы. В любых гиперболических уравнениях присутствует вторая производная по времени t. Поэтому, чтобы решить гиперболические уравнение, необходимо преобразовать его в систему дифференциальных уравнений в частных производных, введя дополнительную неизвестную функцию  . В частности рассмотрим продольное колебания нити под действием периодической нагрузки. В этом случае задача сводится к решению систем уравнений в частных производных:

;

            Полученную систему будем решать с помощью блока Given-Pdesolve. Ниже приводится решение системы уравнений функцией pdesolve:

            При этом первым параметром в функции pdesolve будет массив имен функций, в нашем случае . Функция pdesolve вернет вектор функцию решения системы. Как показывает анализ полученных численных результатов решения поставленной задачи, найденные посредством явной разностной схемы и функции pdesolve, практически совпадают.

            В заключение коротко остановимся на оценке адекватности модели. Оценка адекватности модели предполагает в качестве обязательного этапа проведения специальных численных экспериментов, результаты которых априорно известны. Для проверки правильности модели могут использоваться уже известные экспериментальные зависимости

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ